벡터의 연산: 내적과 외적

우리는 앞선 글에서 벡터의 정의와 간단한 성질에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터의 새로운 연산인 내적과 외적에 대해서 알아보도록 합시다!

먼저 내적에 대해 살펴보겠습니다. 영어로는 'dot product' 또는 'scalar product'라고 부르기도 합니다.

두 벡터가

이렇게 정의 됐을 때, 내적의 정의는 다음과 같습니다.

이 정의는 반드시 기억을 해주시기 바랍니다.

내적의 연산 결과는 어떤 값, 즉 '스칼라'로 나옵니다. 그리고 이 값은

와 같기도 하죠. 이때 Ө는 두 벡터 사이의 각도입니다. 그렇다면 왜 이 둘이 같을까요?

일단 어떤 벡터 x가 있을 때,

입니다. (1) 식은 내적의 정의와 벡터의 크기를 구하는 방법을 아신다면 납득할 수 있을 겁니다. 그렇다면 두 벡터 a, b가

이렇게 있을 때, 코사인법칙을 사용하면

임을 알 수 있는데 여기서 (1)식의 'x'에 'b벡터 - a벡터'를 대입하면

가 성립합니다.

그래서 만약 두 벡터가 서로 수직이다? 그렇다면 두 백터를 내적한 값은 0입니다. 이 성질을 잘 기억해 주시기 바랍니다.

다음으로 외적에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 외적은 영어로 'cross product' 또는 'vector product'라고 합니다.

일단 외적은 3차원에 국한에서 보도록 하겠습니다.

외적의 정의는 다음과 같습니다.

일단 내적보다는 많이 복잡한 것 같습니다. 하지만 이 정의는 일단 있는 그대로 받아들여주시기 바랍니다. 외적이 내적과 다른 점 하나는 연산의 결과가 '벡터'로 나온다는 것입니다. 보시다시피 '기저벡터'를 뜻하는 기호가 있죠.

그리고 이 식의 ' εijk'는 다소 생소할 수 있습니다. 이 기호는 'levi civita'라고 불리는 기호로 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다.

쉽게 말해서,

이 법칙을 만족합니다. 사실 levi civita는 3차원 이상에서도 비슷하게 정의가 되지만 일단 3차원만 다루도록 하겠습니다.

그래서 외적의 정의를 전개하면,

가 됩니다. 그리고 이 '벡터'의 크기는

와 같고(Ө는 두 벡터 사이의 각도) 방향은 '두 벡터 모두와 수직인 방향'입니다. 이 성질을 반드시 기억해 주시기 바랍니다.

(2)의 증명은 다음과 같습니다. 대충 넘겨봐도 무방합니다....

자, 여기까지 내적과 외적에 대해서 알아봤습니다. 이 두 연산은 물리를 배우면서 정말 끊~~임~~없~~이 등장하는 연산이니 이번 기회에 잘 알아두셨으면 좋겠습니다. 그럼 오늘도 좋은 하루 보내세요!

물팍