공간의 길잡이, 벡터함수 (2)

안녕하세요! 물팍입니다. 오늘은 저번에 말씀드렸다시피 벡터함수로 공간 상의 도형을 표현하는 방법을 알아보겠습니다.

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여기서 우리가 알아볼 도형은 점, 직선, 면입니다. 거기다 플러스 알파로 아주 간단한 기초 도형인 '구(sphere)'와 '원기둥(cylinder)'에 대해서도 알아보겠습니다. 많이 어렵지 않으니 차근차근 따라와 주시기 바랍니다.

 

먼저, 점입니다... 말할 것도 없죠. 위치벡터 그 자체라고 할 수 있겠습니다.

점

바로 직선(line)으로 가보겠습니다.

선을 정의하기 위해서는 두 가지 요소가 필요합니다. 바로 선의 '방향'과 '한 점'입니다. 이 2가지 요소만 있으면 직선을 정의할 수 있죠. 이해되시나요?

'한 점'은 그 점을 나타내는 벡터, 방향은 '방향벡터'로 나타낼 수 있습니다.

방향벡터

이렇게 방향벡터 v를 결정하고 직선을 정의하면, '한 점'으로부터 '방향벡터'를 상수배(t배)하여 나올 수 있는 모든 점의 집합인 셈이죠. 즉 직선 'r'을 식으로 나타내면,

직선의 방정식

이렇게 직선의 방정식이 도출됩니다. 그림으로 나타낸다면,

직선

이렇게 나타낼 수 있습니다. 벡터의 덧셈으로 직선을 정의하는 것입니다. 모두 이해되시나요?

 

그 다음에는 면에 대해서 알아보겠습니다.

면을 정의하기 위해서도 역시 2가지 요소가 필요합니다. '법선벡터'와 '한 점' 이지요.

면을 정의하는 방법은 여러 가지가 있지만 벡터를 사용해서 정의할 때는 법선벡터(normal vector)가 필요합니다.

normal vector

법선벡터는 면에 '수직'인 방향의 벡터를 말합니다. 다른 말로 법선벡터는 '면'에 존재하는 모든 직선과 수직인 벡터이죠. 이를 그림을 나타내면, 

면

이렇게 그려집니다. 빨간 r은 면이 지나는 한 점입니다. 단순히 법선벡터와 수직인 면은 무수히 많지만, 그 중에서 특정 점을 지난다고 결정해주는 것이죠.

면에 있는 임의의 한 점을 r벡터라 하면,

면에 임의의 점

 

r-r0는 면에 존재하는 벡터가 될 것이고 이는 법선벡터 n과 수직일 것입니다. 두 벡터가 수직일 때, 그 내적 값은 0이므로 이를 식으로 나타내면, 

plane equation

이렇게 됩니다. 이것 만으로도 면을 나타내는 식이지만 이를 성분으로 쪼개서 나타내면

면의 방정식

이렇게 나타나죠. 벡터의 내적에 대해서 더 궁금하다면 https://wgco-physicspark.tistory.com/entry/%EB%B2%A1%ED%84%B0%EC%9D%98-%EC%97%B0%EC%82%B0-%EB%82%B4%EC%A0%81%EA%B3%BC-%EC%99%B8%EC%A0%81

벡터의 연산: 내적과 외적

여기를 방문해주시면 감사하겠습니다.

 

자 다음으로 구에 대해서 알아보겠습니다. 워낙에 많이 등장하는 도형인 만큼 한 번 알아보도록 하겠습니다. 

'구'의 정의는 다음과 같습니다. 공간에서 한 점으로 부터 같은 거리에 있는 점들의 집합. 즉, 구를 정의하기 위해서는 역시 2가지 요소가 필요합니다. 바로 '중심'과 '반지름'이죠. 중심을 r0, 임의의 점을 r, 반지름을 R로 정의한다면 

sphere equation

 

이렇게 구를 정의하는 식이 도출됩니다. 각각의 벡터를 성분으로 쪼개서 표현한다면, 양변을 제곱하여,

구의 방정식

이렇게 나타낼 수 있죠.

 

원기둥은 다릅니다. 

밑면이 원이기 때문에 밑면만 원으로 정의해주고 중심축의 길이는 알아서 결정해주면 되는 것이죠.

만약 z방향으로 기다랗고, 중심축과 수직으로 자른 단면이 xy평면과 평행한 원기둥이라면, 단순하게

cylinder

이런식으로 밑면만 원으로 결정해주고, 얼마나 긴지는 범위를 따로 정해주면 됩니다.

 

자, 여기까지 공간상에서 벡터를 사용하여 도형을 식으로 나타내는 방법을 알아보았습니다. 다음 시간에는 xyz좌표가 아닌 다른 방식으로 좌표를 표현할 수 있는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 좋은 하루 보내세요!