자연의 입장에서 수학은 어떤 존재일까요? 인류의 출현과 함께 자연스럽게 '수학'이라는 학문이 생겨났고 이 수학이라는 논리는 절대적 성향을 가지고 있습니다. 누구에게나 진리로 받아들여지죠. 그리고 우리는 이 세계를 설명하기 위해서 수학의 논리를 빌리고 있습니다. 결과적으로 수학의 힘으로 도출된 결과는 자연에 실제로 잘 들어맞죠. 자연은 무엇인가를 의도하고 우리에게 '수학'이라는 논리를 가르친 것일까요?
저번 글에서 뉴턴의 세 가지 운동법칙에 대해서 다뤘습니다. 아직 안 보신 분들은 아래의 링크를 통해 봐주시기 바랍니다!
https://wgco-physicspark.tistory.com/9(뉴턴의 운동법칙 편)
오늘은 운동법칙을 이용한 운동방정식에 대해서 소개하겠습니다!
운동방정식은 영어로 'equation of motion'이라고 부릅니다. 어떤 물체가 '운동'을 한다는 것은 시간에 따른 위치 변화가 있다는 것이죠(물론 위치변화가 0일 수도 있습니다.). 즉 속도를 가진다는 것입니다. 그리고 이 속도가 시간에 따라 어떻게 변하는 지를 알면 우리는 그 물체가 어떻게 '운동'하는지 알 수 있는 것이죠.
그렇다면 여기서 속도의 변화는 어떻게 나타낼 수 있을까요? 속도의 변화는 당연히 가속도로 인해서 나타납니다. 그리고 이 가속도는 그 물체에 가해지는 힘 때문에 나타납니다. 뉴턴의 운동법칙 중 2번째, 가속도 법칙 기억나시나요?
그래서 운동방정식의 형태는
로 나타냅니다. 좌변이나 우변으로 이항해서 한쪽을 0으로 만들어도 됩니다. 이 식에서 x벡터는 위치벡터를 나타내고 그 위에 점 두 개는 가속도를 나타냅니다. '시간'으로 미분을 한 번씩 할 때마다 위치벡터 위에 점을 하나씩 찍습니다. 뉴턴식 표기법이죠. m은 물체의 질량을 나타내죠. 아래의 예시를 보도록 하겠습니다.
일단 이 상황이 x-y평면에 있다고 가정합시다. 그리고 도르래와 실은 모두 질량이 없는 상황이라고 합시다. 또, 맨 오른쪽 줄을 누군가가 f2의 힘으로 당기고 있다고 해봅시다.
그렇다면 그림의 두 물체에 작용하는 운동방정식은 다음과 같을 것입니다.
그리고 이 상황은 실의 장력이 계속 유지되고 있는 상황이기 때문에
가 성리하는 상황입니다. 이 방정식 중 하나의 변수만 알면 나머지도 풀리겠죠.
저는 운동방정식이 자연을 수학적으로 설명할 수 있게 한 중요한 단계라고 생각합니다. 물론 뉴턴 이전에도 자연을 수학적으로 다룬 사례가 많긴 합니다. 하지만 운동방정식 출연 이후 직접적으로 자연을 수학처럼 논리적으로 설명할 수 있게 된 계기인 것 같습니다. 어떤 물체의 움직임을 방정식으로 나타냄으로써 서로 다른 물체의 움직임도 더하고 빼는 것이 가능해졌죠(이 역시 '벡터'의 성질과 관련이 있죠.) 그래서 물리를 공부하다 보면 수학과 자연은 어떤 관계에 있는 것인지에 대한 상상을 하곤 합니다.
여기까지 운동방정식에 대해서 알아보았습니다. 운동방정식은 진동이나 전자의 방정식을 작성할 때도 통용되는 논리입니다. 지금 잘 이해해두면 나중에 다른 영역을 배울 때도 훨씬 수월할 겁니다.
혹시 아직 안 보셨다면 한번 보시는 걸 추천합니다!
https://wgco-physicspark.tistory.com/2(상상력 편)
그럼 좋은 하루 보내세요!
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